CSD, wie geht das?

Ein Lautsprecher-Selbstbauer - auch wenn er aus Köln ist - denkt da eher an zappelige Kurven, die das (Ausschwing-) Geheimnis eines Lautsprecherchassis enträtseln sollen. Den genauen Ausdruck für die englische Abkürzung kriegt kaum jemand auf die Reihe: Cumulative Spectral Decay. Im Deutschen hat sich der wesentlich einfacher auszusprechende Begriff "Zerfallspektrum" durchgesetzt. Dieser Begriff beschreibt eigentlich auch schon ganz gut, um was es da geht: wie "zerfällt" die Wiedergabe über der Zeit, wenn die Anregung plötzlich abgestellt wird? Da das ganze über viele Frequenzen gleichzeitig betrachtet wird heißt es eben Spektrum.

Der perfekte Impuls

Auf einer CD wäre der kürzest mögliche Impuls der, der genau einen Abtastwert lang einen hohen Pegel hat und sonst immer den Wert 0. Pro Sekunde und Kanal gibt es auf der CD 44100 Lautstärkeinformationen, eine davon gilt also für den Zeitraum von 1/44100 s = 0.0227 ms. Man spricht auch von einer Abtastfrequenz von 44100 Hz, da bei der Wandlung des analogen Zeitsignals dieses ja 44100 mal pro Sekunde (1/s = Hz) abgetastet bzw. digitalisiert wurde.

So ein Dirac-Impuls soll angeblich alle Frequenz bis zur halben Abtastfrequenz mit konstanter Amplitude enthalten. Schwer vorstellbar? Schwer vorstellbar!

Jetzt wird es ein wenig schwierig......

Herr Fourier lässt grüßen

Nehmen wir an, der Dirac-Impuls soll sich 2x pro Sekunde wiederholen, also die Wiederholfrequenz von 2 Hz ([Hz] = [1/s]) haben. Dann muss er (wenn Herr Fourier Recht hat) aus Sinus- und Cosinussignalen bestehen, die eine Frequenz von 2 Hz (= Grundwelle) oder deren Vielfachen haben, denn nur so kann er sich nach 0.5 sec. wiederholen! Nur diese Frequenzen haben die Eigenschaft nach genau 0.5 sec. genau denselben Amplitudenwert zu haben wie 0.5 sec. zuvor. In der halben Sekunde haben sie die gesamte Sinus- bzw. Cosinuskurve ein oder mehrere Male komplett durchlaufen. Nettes Gedankenspiel - aber was hilft uns das jetzt für den Bau unseres Dirac-Impulses?

Die zeitliche Änderung der Amplitude A eines Sinus- bzw. Cosinus-Signals mit der Zeit t folgt der Formel:

A(t) = sin ( 2 · Pi · Frequenz [Hz] · Zeit [s]) bzw.

A(t) = cos ( 2 · Pi · Frequenz [Hz] · Zeit [s])

Das Cosinussignal hat die Eigenschaft zum Zeitpunkt 0 den Wert 1 zu haben, unabhängig davon welche Frequenz das Cosinussignal hat (Tipp: einfach mal den Taschenrechner rauskramen und cos(0) ausrechnen: einfach mal den Taschenrechner rauskramen und cos(0) ausrechnen). Damit würden sich also alle Cosinussignale zum Zeitpunkt t=0 addieren, während sie sich zu allen anderen Zeitpunkten weniger gut addieren oder sogar auslöschen. Na, dann summieren wir doch einfach mal alle möglichen "Cosinüsse" (bzw. lassen eine Tabellenkalkulation das machen).

In der folgenden Animation werden einzelne Vielfache der Grundwelle (blaue Kurve) sowie die Summe aller bisherigen Teilwellen gezeigt (rote Kurve). Die Schrittweite ändert sich stufenweise (1,2,4,8,16,32,64), nach 8 Teilwellen wird die Y-Skala einmal angepasst:

-> war ja gar nicht so schwer!

Hinweis: Die genauen Konstruktionsparameter sind Abtastfrequenz 22050 Hz, Periodendauer 256/22050 s = 11.6 ms (-> Grundwelle = 86.13 Hz, höchste Teilwelle = 128 x Grundwelle = 11025 Hz)

Abgesehen davon, dass wir soeben das Wunder der Fourier-Synthese geschaut (und hoffentlich auch begriffen) haben kann man daraus noch eine Menge mehr lernen. Denn wenn man das Treiben der Cosinüsse so verfolgt merkt man:

Das bedeutet:

Wo wir gerade so schön in Schwung sind können wir gleich auch noch mit einem der hartnäckigen Märchen im Lautsprecherbau aufräumen, dem "schnellen" Bass:

Da dem Basslautsprecher über die Frequenzweiche die hohen Frequenzen vorenthalten (und dem Mittel- bzw. Hochtöner vor die Schwingspule geworfen) werden darf er gar keinen schnellen Signaländerungen folgen, selbst wenn er es könnte!

Zerfallspektrum Schritt für Schritt

Hinweis: Da es sich um einen idealen Impuls handelt ist der Frequenzgang linear; sobald der Impuls nicht mehr im Beobachtungsfenster ist "sackt" der Frequenzgang auf - X dB ab.

Diese Animation zeigt auch die Eigenschaft, dass die untere Grenzfrequenz mit zunehmender Verschiebung höher wird. Dies ergibt sich aus der Analysemethode, der Fourier-Analyse. Diese geht IMMER davon aus, dass es sich um PERIODISCHE Signale handelt.

"Aber da ist doch gar nix periodisch! Es macht einmal laut "Knacks" und dann ist Ruhe im Karton!"

Denkste! Die Wiederholungen werden durch die Fourier-Analyse IMMER mathematisch erzwungen. Die Zeitschnipsel werden quasi "kopiert" und unendlich lange "hintereinandergeklebt" - so kann man ein periodisches Signal auch "erzwingen".

Bei der Synthese des Dirac-Impulses haben wir gesehen, dass für die Erzeugung eines periodischen Signal mit einer Periodendauer von 0.5 Sekunden eine Grundwelle mit der Frequenz von 2 Hz sowie deren Oberwellen benötigt werden. Allgemein gilt:

Grundfrequenz [Hz] = 1 / Periodendauer [s]

Wenn also das Beobachtungsfenster (= Periodendauer) immer kürzer wird, dann wird die Grundfrequenz (unterste Frequenz, die genau 1x ins Beobachtungsfenster passt) immer höher. Hier zeigt sich die "Unschärferelation der Signalanalyse":

Auswahl des Beobachtungsfensters

Die "günstigsten" Start- und Stoppunkte kann man bei Streckung der Y-Achse besser festlegen. Idealerweise sollten es Nulldurchgänge sein, damit durch die zwangsweise Periodisierung bei der Fourieranalyse ("kopieren" und unendlich oft hintereinanderkleben) keine zusätzlichen "Sprungstellen" entstehen, die ja - wie oben gelernt - nur durch hochfrequente Geräuschanteile entstehen können.

Uup, hier sind es ja "nur" 7.007 ms (was genau 309 Abtastwerten bei 44100 Hz Abtastfrequenz entspricht), wie kommt denn das. Ach ja, bei der Definition der Parameter für das Zerfallspektrum haben wir ja noch eine "Window rise time" von 0.02 ms angegeben, die wird wohl noch mitgerechnet:

Na gut, bei einer Länge des Beobachtungsfensters von 7.03 ms passt die Grundwelle 1/0.00703 = 142.2 Hz genau 1x in das Beobachtungsfenster hinein. Die nächste Frequenz, die ich zur Konstruktion eines periodisch wiederkehrenden Zeitsignals von der Länge des Beobachtungsfensters brauche, ist die doppelte Grundwelle, also 284.4 Hz (und so weiter und so fort). Durch den kurzen Zeitausschnitt von 7.03 ms habe ich also nur alle 142 Hz eine Frequenzinformation. Das ist ja nicht gerade viel!

Darstellungskosmetik

Tja, das äußere Erscheinungsbild und die "nackten" Tatsachen sind nicht immer ein und dasselbe. Man denke nur an Push-up BHs (Frauen), Schuh-Einlegesohlen (Männer), hohe Absätze (Frauen) oder Toupets (Männer) - da wird geschönt was das Zeug hält! In diesem Fall heißt das Zauberwort "Splines". Das sind schön geschwungene Kurven, die 2 Datenpunkte nach strengen mathematischen Regeln - aber nicht desto trotz kunstvoll geschwungen - verbinden, statt einfach nur eine schnöde Gerade zu zeichnen.

Genau genommen wäre sogar eine Gerade nicht die richtige Darstellung, da sie bereits eine Genauigkeit vorgaukelt, die gar nicht da ist. Es ist ja nicht so, dass genau bei 142.2 Hz eine Information bekannt ist und man bei 142.3 Hz oder 150 Hz keine Aussage hat. Es ist eher so wie bei einer 1/3 Oktavanalyse, dass nämlich der Wert für ein bestimmtes 1/3-Oktavband (z.B. mit der Mittenfrequenz 1000 Hz) die gesamte Energie innerhalb des entsprechenden 1/3-Oktavbandes repräsentiert (hier 891 bis 1122 Hz) ohne das man die geringste Ahnung hätte bei welcher Frequenz genau denn diese Energie auftritt. Wenn man ein 1/3-Oktavspektrum darstellt geschieht dies daher - wissenschaftlich exakt - durch eine Balkengrafik statt durch eine Liniengrafik, die nur die Mittenfrequenzen verbindet. Dadurch kann man sich schon ganz schöne Fehler einhandeln. Aber so ein Zerfallspektrum kann das noch schöner, indem es die Linien sogar durch kunstvoll geschwungene Splines ersetzt. Das sieht zwar schöner aus, erfüllt aber z.B. nicht die Bedingung, dass die vorher vorhandene Energie beibehalten wird:

Umgemünzt auf das Zerfallspektrum repräsentiert der Wert bei 142.2 Hz eigentlich die gesamte Energie, die im Frequenzbereich von 142.2 +/- 71.1 Hz auftritt.

Ausblenden von Raumreflexionen

Bei einer Standbox mit einem kleinen Breitbandlautsprecher (Punktquelle) in der Höhe H über dem Boden und einem Mikrofon in der Distanz D Punktquelle (auf gleicher Höhe) ergibt sich - Dank Herrn Pythagoras (???) - die Distanz der Reflexion Dr am Boden zu:

Dr = 2 · Wurzel ( (D/2)² + H² )

Der Umweg Du beträgt demnach:

Du = Dr - D

Dieser Umweg wird in der Zeit Tu zurückgelegt:

Tu = Umweg Du [m] / Schallgeschwindigkeit c [m/s] = = Du [m] / 343 [m/s]

Das Beobachtungsfensters darf also höchstens so lang sein wie Tu. Bei einer Abtastrate von 44100 Hz entspricht dies Wx Abtastwerten:

Wx = 44100 [Hz] / Tu [s]

Wenn das Beobachtungsfenster Tu lang ist ergibt sich eine Frequenzauflösung dF von:

dF [Hz] = 1 / Tu [s]

Für typische Szenarien wurden mal schnell die Werte berechnet:

Wie man sieht gibt es auch hier nix umsonst: den Vorteil die Raumreflexionen ausblenden zu können muss man sich durch eine schlechte Frequenzauflösung teuer erkaufen. Selbst bei 50 cm Mikrofonabstand und Ausnutzung der halben Raumhöhe kommt man gerade mal auf 264 reflexionsfreie Abtastwerte und damit auf eine Frequenzauflösung von 167.4 Hz! In diesem Setup (doppelte Reflexion) wäre der Fehler durch die Reflexionen +2.87 dB (bei n · 167.4 Hz) bzw. -4.33 dB (bei (83.7 + n · 167.4) Hz) unter der Annahme, dass dies die einzigen Reflexionen wären. Zum erfolgreichen Einsatz der Reflexionsausblendung auch für tiefere Frequenzen ist also vor allem ein großer und hoher Raum (oder ein mittelgroßer Garten und gutes Wetter) notwendig!

Darstellungsvariationen

Die folgenden Darstellungen zeigen jeweils Variationen gegenüber der Standardeinstellung mit:

• 30 dB Pegelbereich
• ¹/₁₂ Oktave Glättung
• 256 Werte FFT und 30 dB Pegelbereich
• 80 "Scheiben" mit einem Abstand von jeweils 3 Abtastwerten (Zeitachse von 0 bis 5.37 ms)

Einfluss des Pegelbereiches:

-> bei 0 bis -25 dB schwingt das Chassis scheinbar "schneller" aus.
-> bei 0 bis -30 dB sieht man, dass es sich nicht um ein Grundgeräusch (Messfehler) handelt.

Einfluss des Frequenzglättung (ungeglättet, ¹/₁₂ Oktave, ¹/₃ Oktave):

-> die Glättung über ¹/₁₂ Oktave ist ein guter Kompromiss.
-> bei ¹/₃ Oktave-Glättung gehen viele Details verloren.

Einfluss des betrachten Ausschwingzeitraums:

-> bei 0 bis 1.79 bzw. 3.58 ms schwingt das Chassis scheinbar "langsamer" aus.
-> bei 0 bis 7.17 ms schwingt das Chassis scheinbar "schneller" aus.
Hinweis: Hochtöner sollten zeitlich feiner aufgelöst werden (z.B. 0 bis 1.79 ms).

Einfluss des sanften Einblendens des Beobachtungsfensters:

-> bei 0.02 bis 0.10 ist kaum ein Effekt auszumachen (hängt vom "Vorlauf" ab).
-> bei 0.2 sind die Übergänge beim 1. starken Abklingen "runder".

Einfluss der für die FFT verwendeten Abtastwerte:

-> bei 128 Abtastwerten beträgt die Frequenzauflösung nur 345 Hz -> die Spektren werden zu sehr "verschliffen".
-> für 512 Abtastwerte ist das Beobachtungsfenster zu klein -> kein Vorteil.
Achtung: Bedingt durch die FFT ändert sich die untere Grenzfrequenz!

Der "richtige" Pegelbereich

Nun, der dargestellte Pegelbereich hat einen der größten Einflüsse auf die subjektive Interpretation des Ausschwingverhaltens (siehe Vergleich 25 gegen 30 dB). Ein Chassis, das - bis auf einen zusätzlichen Peak von 5 dB - einen identischen Frequenzgang und ein identisches Ausschwingverhalten wie der VIFA 10BGS119/6 hätte würde bei einer Anzeigedynamik von 30 dB quasi nur das Verhalten des 10BGS119/8 bis -25 dB zeigen, da die zusätzlichen 5 dB für den Peak benötigt würden. Damit hätte er ein scheinbar besseres Ausschwingverhalten. Das ist doch auch kein fairer Vergleich!

OK, wir haben zwar schon in die richtige Richtung gedacht, aber leider nicht ganz zu Ende. Wenn wir jetzt auch noch dafür gesorgt hätten, dass die 35 dB zeigende Pegelachse auch 35/30 mal so "lang" gewesen wäre hätte sich die bestmögliche Vergleichbarkeit ergeben. Leider geht das mit ARTA nicht, ohne dass sich auch die anderen Dimensionen ändern. Das wäre von unserer Seite noch ein Änderungswunsch an ARTA. Bis dahin werden wir dennoch den dargestellten Bereich der Y-Achse so anpassen, dass er ca. 25 dB unter dem mittleren Pegel im Einsatzbereich liegt, damit bei jedem Chassis das Abklingen bis zu diesem Pegel verfolgt werden kann, auch wenn es einen "dicken Peak" innerhalb oder außerhalb des Übertragungsbereiches haben sollte (den man ja in der Regel wegfiltert).

Die beiden VIFAs waren ja noch recht "harmlos". Wie groß die Problematik werden kann zeigt das Zerfallspektrum des VISATON AL130M. Dieser weist einen Peak um 10 kHz auf, der ca. 13 dB über dem mittleren Pegel liegt:

-> ein Pegelbereich von 30 dB ermöglicht nicht die Beurteilung des Ausschwingverhaltens im Nutzbereich!

-> ein Pegelbereich von 40 dB ist da schon angemessener!

-> nach der Entzerrung per DCX2496 reichen wieder 30 dB aus!

-> mit Tiefpassfilter reichen 25 dB aus, da auch die Überhöhung bei 3 kHz reduziert wurde.

-> zum Abschluss noch das Zerfallspektrum mit Hoch- und Tiefpassfilter

Auch wenn der dargestellte Pegelbereich immer "anders" ist, so ist doch die subjektive Interpretation der Zerfallspektren was z.B. das Abklingen im Bereich um 1.5 kHz betrifft immer gleich - außer bei der obersten "Soll"-Darstellung. Das zeigt ganz gut, dass eine "dynamische" Anpassung des dargestellten Pegelbereichs sinnvoll ist.

Gehörrichtiges Zerfallspektrum?

Ein Abklingen um 20 dB innerhalb von 2 ms ist im Bassbereich extrem schnell, im Mitteltonbereich OK und im Hochtonbereich schon ziemlich lang. Eigentlich müsste man das Ausklingen nicht als absolute Zeit sonder relativ zur Wellenlänge ausdrücken. Dann würde die Membranresonanz des AL130M VIEL schlimmer aussehen und das kaum interpretierbare "Wabern" im Grundtonbereich kein Anlass zur Sorge sein. Fragt sich nur was wirklich "gehörrichtig" ist, also das subjektive Empfinden am besten widerspiegelt. Bis dahin erscheint mir die Interpretation von Zerfallspektren nur grob möglich zu sein: eine detaillierte Analyse geht fast schon in Richtung Kaffeesatz-Leserei . . .